在大数据时代，无论是数据科学家、机器学习研究者，抑或是普通编程开发人员都不可或缺地需要用到与概率论相关的知识。《概率、决策与博弈：基于R语言介绍》创新性地从游戏的角度介绍了概率、统计、决策论和博弈论中的重要概念。借由玩乐所使用的纸牌、骰子、以及彩票等习以为常的事物，作者为广大读者贡献了一本自学参考的教材，只要具备一般的中学数学基础就能轻松阅读该书并深刻理解其中所阐述的概念与原理。

　　在大数据时代，无论是数据科学家、机器学习研究者，抑或是普通编程开发人员都不可或缺地需要用到与概率论相关的知识。《概率、决策与博弈：基于R语言介绍》创新性地从游戏的角度介绍了概率、统计、决策论和博弈论中的重要概念。借由玩乐所使用的纸牌、骰子，以及彩票等习以为常的事物，作者为广大读者贡献了一本自学参考的教材，只要具备一般的中学数学基础就能轻松阅读该书并深刻理解其中所阐述的概念与原理。

第3章轮盘赌

轮盘赌是现代赌场中较简单的游戏之一，并且相对于其他游戏更广为人知。事实上，这个游戏已经出现在无数电影中，如： 亨弗莱·鲍嘉(Humphrey Bogart) 1942年的《卡萨布兰卡》，罗伯特·雷福德(Robert Redford) 1993年的《桃色交易》，以及1994年的德国电影《罗拉快跑》。

3.1规则和赌局

轮盘赌使用一个被划分成带编号和颜色编码的格子的旋转轮。美国轮盘赌(美国流行)有38个格子，欧洲轮盘赌有37个格子(蒙特卡洛和其他欧洲地区较为常见)； 见图3.1。庄家(作为负责赌台的赌场员工闻名)旋转轮盘，并将一个小球扔向相反的方向。

图3.1法国/欧洲(左)和美国(右)轮盘赌的轮盘以及放置赌注的区域

赌局的结果取决于球落在哪个格子。

通过将筹码移动到桌子中的适当位置来放置轮盘赌中的赌注。轮盘赌投注通常分为内部和外部投注。外部投注的名称来源于放置赌注的方框围绕编号框的事实。

最简单的内部投注称为直接投注(straightup)，对应于对特定数字的投注。要下注，只需将筹码移动到标有相应数字的方格中心即可。直接下注的赔率为35比1，这意味着如果你的数字出现在轮子中，你可以获得原始投注，并为你下注的每1美元获得35美元的利润。表3.1描述了其他内部投注，例如拆分(split)或街道(street)。

表3.1美式轮盘的内部投注

投 注 名 称你 投 注 于赌注的放置处赔率

直接投注

(straightup)1~36间的一个数数字方格的中间35比1

零投注

(zero)0方格0的中间35比1

双零投注

(double zero)00方格00的中间35比1

拆分投注

(split)两个相邻的数字(水平或垂直)两个数字共享的边上17比1

街道投注

(street)同一水平线上的三个数字水平线的右边缘11比1

方形投注

(square)构成方形的4个数字(例如19，20，22和23)四个数字共享的角8比1

双街道投注

(double street)两组相邻的街道(看街道行)分割两组街道的线的最右侧5比1

筐投注

(basket)三种可能性中的一个： 0，1，2或0，00，2或00，2，3三个数字的交点11比1

顶线投注

(top line)0，00，1，2，30和1的角或00和3的角6比1

最简单的外部投注为颜色(或红/黑)投注，以及奇/偶投注。顾名思义，如果球落入了与你选择的格子的颜色一致的格子中，那么你赢得颜色投注。相似地，如果轮盘赌的结果是一个非零的偶数，那么你赢得偶数投注。上面的两个例子中，赔率均为1比1，因此它们也被称为均衡赌局(even bets)。然而，正如我们后面将看到的，这些均衡赌局并非公平的投注，因为胜率并不是1比1。表3.2列出了一些外部投注。这个列表对应了在美国最常用的一些投注和赔率，一些赌场允许额外的投注，或者能够稍稍改变与之相关的奖金。

表3.2美式轮盘的外部投注

投 注 名 称你 投 注 于赌注的放置处赔率

红/黑投注

(red/black)轮盘赌显示的颜色写着“红”或“黑”的格子1比1

偶/奇投注

(even/odd)轮盘赌显示的非零数字的奇偶性写着“偶”或“奇”的格子1比1

118投注较小的18个数写着1~18的格子1比1

1936投注较大的18个数写着19~36的格子1比1

12码投注

(dozen)数字在1~12(第一打)或13~24(第二打)或25~36(第三打)中写着“第一打”(first dozen)或“第二打”(second dozen)或“第三打”(third dozen)的格子2比1

列投注

(column)数字在1，4，7，10，13，16，19，22，25，28，31，34(左列)； 或2，5，8，11，14，17，20，23，26，29，32，35(中列)； 或3，6，9，12，15，18，21，24，27，30，33，36(右列)中对应列下有标注的格子2比1

从数学的角度来看，轮盘赌是最容易分析的游戏之一。举个例子，在美式轮盘赌中，有38种结果(数字1~36加上0和00)，并假设是等可能的。因此，任何一个数字出现的概率都是1/38。这意味着在直接投注中下注1美元，期望利润是

E直接投注1美元的利润=-1×3738+35×138

=-238≈-0.0526

注意期望利润是负数。因此，长期看来，你下注的每1美元将会输掉大约5美分。这个数字被称之为庄家优势(house advantage)。这确保了赌场仍然是一项可以预见的盈利业务(想想第2章关于期望的大数定律)。

考虑偶数投注，共18个非零偶数； 因此，期望利润是：

E偶数投注1美元的利润=-1×2038+1×1838

=-238≈-0.0526

相同的计算适用于奇数、红、黑、1~18和1~19等投注。另一方面，拆分投注的期望利润为：

E拆分投注1美元的利润=-1×3638+17×238

=-238≈-0.0526

对于街道投注：

E街道投注1美元的利润=-1×3538+11×338

=-238≈-0.0526

事实上，美式轮盘赌几乎所有赌局的庄家优势都是相同的(-2/38)。表3.1和表3.2讨论的所有赌局中，唯一的例外是顶线投注(top line bet)，它比其他常见的赌局更为不利：

E顶线投注1美元的利润=-1×3338+6×538

=-338≈-0.0789

事实上，顶线投注比同时在其中每一个数字上进行直接投注更不利！要想看到这一点，可以考虑在顶线投注中投注5美元，而在顶线投注(0,00,1,2,3)中的每个数字上同时投注1美元。根据期望的属性(回想第2章)，第一次下注的预期利润是：

5投注金额×-338顶线投注的庄家优势≈-0.3947

　　游戏、概率和决策，是本书涉及的三个概念。最早的游戏可以追溯到公元前2600多年，例如：埃及的塞尼特棋（Senet）以及两河流域的乌尔皇家游戏（Royal Game of Ur）；我国的围棋相传也可追溯到尧舜的上古时代。时至今日，除了传统的棋牌游戏以外，更是发展出了各种绚烂而复杂的电子游戏（例如《文明》《英雄联盟》等）。大到当今动辄十几吉字节大小的网络游戏，小到石头一剪刀一布，游戏一直伴随着人类文明的发展而演变，但游戏这个宝藏所蕴含的趣味和思考却传承至今。概率和博弈正是打开这个宝藏的钥匙。
　　概率，其实就是不确定性，大致分为两种。一种是事件太过复杂，难以穷究所有变化的情况。此时，人们使用概率作为一种简化手段。例如：随手丢一枚骰子，哪一面朝上？如果能够获取这个事件的所有信息，如掷骰子的力度和方向、空气的阻力、桌面的摩擦力、骰子的弹性等，那么我们是能够计算出哪一面朝上的。只是太过复杂了，所以我们假设均匀情况下每一面出现的概率是一样的。另一种是事件本身就具备不确定性，难以准确衡量的情况。此时，人们用概率描述这种不确定性。例如：物理学中的不确定性原理（ uncertainty principle）讲无法同时获取一个粒子的位置和速度。所以，人们用“概率云”描述微观粒子的运动。游戏正是这样一种复杂且具备不确定性因素的事件，人与人之间的对抗游戏更是如此。因此，我们需要借助概率的手段来学习和认识这一切。
　　事实上，已经有许多书籍系统且详尽地介绍过概率论和博弈论相关的知识。不过，这些书籍大都过于公理化，数学公式堆积，因此也难免显得较为枯燥难懂。常常出现的情形就是“考完试就忘了”。为考试而学的知识，离开考试还能剩下多少呢？
　　我们并非想要抛开数学谈概率和博弈，毕竟数学是最为客观和理性的语言，丢掉数学也就丢掉了这两门学科的灵魂。但是我们认为，除了单一的“掷骰子”实验以外，概率和博弈还有更为广泛且生动的应用场景。本书在这一方面就做出了新的尝试，以轮盘赌、乐透、花旗骰、二十一点、扑克、石头一剪刀一布（rock-paper-scissors）、井字棋（tic-tac-toe）等大家耳熟能详的游戏为切入点，深入浅出地讲述了概率和博弈的基本概念（如大数定律、公允价值、纳什均衡、零和博弈等）。此外，作者还引入了R语言，用以模拟上述游戏的过程，更为直观地展示了游戏背后的科学原理。
　　最后，希望大家从本书中能有所收获。