散焦NLS方程的大时间渐近性和孤子分解 pdf下载

《散焦NLS方程的大时间渐近性和孤子分解》以反散射理论、Riemann-Hilbert（RH）方法和非线性速降法为工具，系统分析散焦NLS方程在有限密度初值下解的长时间渐近性和孤子分解，主题部分取材于Cuccagna，Jerkins和作者*新研究成果。内容主要包括散焦NLS方程初值的RH问题表示、RH问题的可解性、在孤子区域中的孤子分解和在无孤子区域中的长时间渐近性。

目录
《非线性发展方程动力系统丛书》序
前言
第1章　绪论　1
第2章　Lax对的谱分析　4
2.1　非零边界下谱问题和单参数化　4
2.2　Jost函数的存在性和可微性　7
2.3　Jost函数的渐近性和对称性　18
第3章　初值问题解的RH问题表示　20
3.1　散射数据和反射系数的性质　20
3.1.1　对称性和渐近性　20
3.1.2　散射数据所属空间　23
3.1.3　离散谱的分布　29
3.2　RH问题及其在L2上的可解性　35
3.3　相位点和跳跃矩阵分解　41
第4章　在孤子区域中的大时间渐近性　43
4.1　RH问题的形变　43
4.1.1　构造插值函数　46
4.1.2　规范化RH问题　50
4.1.3　打开跳跃线做连续延拓　55
4.1.4　混合*-RH问题及其分解　60
4.2　纯RH问题及其渐近性　63
4.2.1　带反射的N-孤子解　63
4.2.2　误差估计一小范数RH问题　68
4.3　纯*问题及其渐近性　71
4.4在区域|x/t|<2中的大时间渐近性和孤子分解　81
4.4.1孤子分解性质　81
4.4.2孤子解的渐近稳定性　85
第5章　在无孤子区域中的大时间渐近性　87
5.1　RH问题的形变　87
5.2　混合*RH问题　92
5.2.1　打开透镜　92
5.2.2　混合3-RH问题及其分解　94
5.3　来自纯RH问题的贡献　98
5.3.1　相位点邻域外可解孤子模型　99
5.3.2　相位点附近可解的局部RH模型　100
5.3.3　误差估计一小范数RH问题　105
5.4　来自纯孓问题的贡献　108
5.5　在区域|x/t|>2中的大时间渐近性　111
参考文献　113
索引　118

第1章绪论
　　非线性SchrSdinger(NLS)方程是光纤、生物学、物理、力学等很多领域的基本模型之一，在诸多领域有重要应用方程在Sobolev空间和，中的整体适定性由Tsutsumi和Bourgain分别证明.1971年，苏联数学物理学家Zakharov和Shabat发现NLS方程的Lax对，并将反散射方法推广到NLS方程的初值问题炚反散射方法的发现是孤子理论中的里程碑性工作，对数学和物理诸多领域产生了深远影响，经典反散射方法已经成为求解可积系统初值问题的成熟方法，目前已经发现一大类非线性方程的初值问题都可以用反散射方法解决.Riemann-Hilbert(HH)问题是著名数学家Hilbert在国际数学家大会上提出的23个著名问题的第21个问题，这23个问题涉及现代数学大部分重要领域，对20世纪数学发展产生了深远的影响.20世纪70年代，Zakharov和Shabat首先将可积系统与RH问题联系起来，发展了求解可积系统的RH方法作为现代版本的反散射理论，目前RH方法已被广泛应用于构造可积系统的精确解.
　　20世纪60年代，Zabusky和Kruskal观察到当时间很大时，KdV方程的解分解为有限孤子[33]，人们相信一般色散方程在大时间下都具有这种共性，数学上称为孤子分解猜想，孤子分解是指当时间趋于无穷远时，方程的解分解为有限个孤子和色散部分两部分.孤子分解猜想是近年来国际上热门的研究领域，受到菲尔兹奖获得者Tao等著名数学家的关注.
　　本书考虑散焦NLS方程在非零边界下初值问题
　　(1.0.1)
　　(1.0.2)
　　这是一个重要的物理模型，曾被著名数学家Faddeev等研究我们从可积系统角度，系统完整地研究上述初值问题(1.0.1)-(1.0.2)解的大时间渐近性和孤子分解性质.为此，首先回顾散焦NLS方程在渐近分析方面的发展概况.
　　1976年，对于Schwartz空间　　其中为任意函数.
　　1981年，Its提出稳态相位点方法并用于研究NLS方程的大时间渐近性1993年，Deift和Zhou发展了研究振荡RH问题的非线性速降法，严格分析了mKdV方程在Schwartz初始数据下的大时间渐近性这种方法被认为是20世纪90年代反散射理论的重大突破，也称Deift-Zhou速降法，已被广泛应用于可积系统初值问题大时间渐近性分析.
　　1994年，在初值如，Deift-Zhou速降法被用于分析了散焦NLS方程的初值问题(1.0.1)的首项和高阶大时间渐近性
　　其中
　　2003年，在加权Sobolev初值下，Deift和Zhou获得如下渐近结果
　　(1.0.3)
　　在一系列论文中，对于有限密度初值下，在光锥内和光锥，Vartanian利用反散射方法获得了方程当的首项渐近逼近.
　　2019年，对于初值GDieng和McLaughlin利用艮速降法获得了比Deift-Zhou的结果(1.0.3)更为精细的估计[58]
　　对于step-like型初值
　　Jenkins获得了散焦NLS方程大时间渐近性[59].
　　对于step-like型初值
　　Fromm，Lenells和Quirchmayr获得了散焦NLS方程大时间渐近性.
　　2016年，对于有限密度初值，Cuccagna和Jenkins利用速降法给出了子分解.
　　其中首项为单孤子解之和，第二项误差来自一个方程的解，见图1.1的时空区域.对于无孤子区域，*近我们进一步获得了散焦NLS方程初值问题(1.0.1)-(1.0.2)的如下大时间渐近性
　　与Vartanian的结果相比较[56]，我们利用速降法，将Schwartz空间的初值推广到加权Sobolev空间，的初值.速降法首先被McLaughlin和Miller提出用于分析非解析权的正交多项式的渐近性.*近几年这种方法被成功地推广到可积系统，用于研究大时间渐近性和孤子分解猜想的证明本书主要内容取材于Cuccagna和Jenkins的工作以及我们*近的工作，为了保持本书的自封性，我们增加和补充了很多详细的分析和阐述，目的是在整个上半平面，给出散焦NLS方程初值问题(1.0.1)-(1.0.2)在大时间渐近性和孤子分解方面一个完整详细的结果，希望本书对致力于渐近分析方面的学者有所帮助.
　　第2章Lax对的谱分析
　　2.1非零边界下谱问题和单参数化
　　考虑散焦NLS方程非衰减的初值问题
　　(2.1.1)
　　(2.1.2)
　　方程(2.1.1)具有Lax对
　　(2.1.3)
　　其中
　　将上述谱问题(2.1.3)改写为
　　我们在L2(R)上考虑算子，其中定义域
　　可以证明谱算子A是自伴的，相应的谱是实的.对于有限质量的初值零边界，离散谱集是空集，因此散焦NLS方程在零边界下没有孤子解，但对于有限密度的初值(非零边界)，新的谱参数下，离散谱集是非空的，因此散焦NLS方程在非零边界下可以有孤子解出现.
　　注2.1.1
　　因此我们可以将初值条件换成更简洁的形式.
　　2.1非零边界下谱问题和单参数化
　　(2-1.4)
　　为求解(2.1.4)，需将和对角化，直接计算可知，矩阵具有二个特征值，矩阵具有二个特征值干，其中满足方程
　　其由沿支割线割开的二张复平面氏和粘合而成，其中支点为.这样在Riemann面上，为的单值函数，由二个单值解析分支组成，函数值相差一个负号，因此可在上，引入局部极坐标：
　　则可以写出Riemann面上二个单值解析分支函数
　　可见c是多值函数.上述方程决定的Riemann面为
　　(2.1.5)
　　(2.1.6)
　　(2.1.7)
　　为避免多值性，引入单值化参数，将(2.1.5)分解为
　　由此定义单值化变量
　　则我们可得到二个单值函数
　　(2.1.8)
　　(2.1.9)
　　可见在新的谱参数下，都是单值函数.
　　对于我们有
　　因此，对于，存在二种渐近状态：
　　如下我们讨论新的谱参数下谱点分布情况.方程(2.1.9)的第一个式子为Joukowsky变换，将其改写为
　　因此
　　由此可见的上半、下半平面与的上半、下半平面相对应.将(2.1.9)的第二个式子改写为
　　(2.1.10)
　　由于A为实的，因此
　　(2.1.11)
　　可见